La théorie de l'intégration est une des théories les plus importante en mathématiques moderne et bien que très récentes, celle ci est en constante évolution et permet de résoudre des problèmes que l'on pensait insoluble il y a encore peu de temps.
La théorie de l'intégration à été commencé vers 1850, avec Bernhard Riemann qui introduit lors de sa thèse ce qu'on appelle encore aujourd'hui les intégrales de Riemann.
Riemann propose une méthode qui permet de calculer des intégrales de fonctions compliquées, parfois non continues et dont le calcul direct n'est pas possible (on rappel que le calcule d'intégrale est équivalent à un calcul d'aire). Il propose donc de subdiviser l'ensemble de définition de la courbe de cette fonction, en de petits intervalles. On Obtient de cette manière une somme de rectangles. Il suffit donc pour calculer l'intégrale de cette fonction, de calculer l'aire de chaque rectangle et des les sommer.
On remarque que l'intégrale de Riemann n'est qu’une approximation, et il faut que la subdivisons soit la plus petite possible pour avoir une bonne approximation.
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