La théorie de la mesure est étroitement liée à la notion de tribu, qui permet de généraliser la notion élémentaire de mesure d'un segment, ou d'une aire. Une tribu ou Sigma-algèbre, ou encore algèbre de Borel, d'un ensemble E, est une famille de parties de E contenant E lui-même et stable par complémentation et réunion dénombrable.
- C'est à dire que l'ensemble vide est dans la tribu.
- que si A est un élément de la tribu, sont complémentaire doit aussi être dans cette même tribu.
- Si {An} est une famille au plus dénombrable d'éléments de cette tribu, la réunion des An doit être dans la tribu. Les tribus sont aussi très utilisées en topologie, en probabilités.
Exercices :
1) Soit X un ensemble, vérifier que la famille : (X Ø) est une tribu. Remarque cette tribu est appelée tribu trivial. C'est la plus petite tribu existant sur un ensemble X.
2) Soit X un ensemble et P(x) l'ensemble des parties de X. Vérifier que P(X) est une tribu sur X. Cette tribu est la plus grande tribu existant.
1 commentaire:
Pour verifier que T:=(X,Ø) est une tribu sur X, il suffit de verifier les trois axiomes :
i) le vide est bien dasn (X,Ø)
ii) Si A est dans T, on a A = Ø ou A=X, comme le complaimentaire du vide est X et reciporquement, on a bien la stabilité par complémentarité.
iii) soit X et Ø les deux elements de T, comme X U Ø = X et que X € T, on a bien la stabilité par reunion fini ou au plus dénombrable.
Ce qui prouve que T est une tribu. On fait de même pour P(X)
Bonne chance !
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